Odds, Log Odds dan Odds Ratio

Odds memiliki konsep yang berbeda dengan probabilitas, sejauh yang kami ketahui tidak ada konsep odds dalam bahasa Indonesia. Untuk itu kita akan terus menggunakan kata odds dalam artikel ini

Odds

Kita akan langsung menggunakan data asli dalam contoh kali ini. Kita akan menggunakan sampel data dari penerimaan mahasiswa yang mendaftar ke jurusan kedokteran di Amerika. 

status penerimaan	Frekuensi	Persentase
ditolak	25	45.45
diterima	30	54.55
Total	55	100

Kamu mungkin familiar dengan konsep probabilitas, bila kita ingin probabilitas seorang siswa diterima di universitas maka kita membagi frekuensi diterima dengan frekuensi total 30/55=0.5455 atau probabilitas siswa tersebut diterima adalah 54.55%.  Dan bila kita ingin menghitung probabilitas ditolak adalah 25/55=0.4545 atau 45.45%

Sementara untuk menghitung odds kita akan membagi frekuensi diterima dengan frekuensi ditolak, sehingga odds siswa tersebut diterima adalah 30/25=1.2 dan odds siswa tersebut ditolak adalah 25/30=0.834

Perlu digaris bawahi disini bahwa probabilitas memiliki rentang nilai 0 sampai 1, dan bila semua probabilitas dijumlahkan akan bernilai 1. Misal probabilitas siswa diterima dan ditolak secara total adalah 1 (54.55% + 45.45%). Sementara itu odds akan memiliki rentang nilai dari 0 ke tak hingga positif, dimana saat odds diatas 1 maka frekuensi pembilang lebih besar dari penyebutnya sementara saat odds dibawah 1 frekuensi pembilang lebih kecil dari penyebutnya.

Odds dan probabilitas memiliki hubungan identitas, dimana 
Odds = probabilitas / (1 – probabilitas)

Mari kita lihat bahwa probabilitas dan odds untuk siswa yang diterima. Probabilitas siswa diterima adah 0.5455, maka oddsnya adalah

Odds = 0.5455 / (1-0.5455) = 1.2 

NB: jika kamu menghitungya sendiri mungkin akan menemukan sedikit kesalahan koma, namun ini terjadi karena nilai dari probabilitas memiliki angka yang tak hingga. Jika kita mengambil nilai pecahannya maka odds = (30/55)/(1-(30/55)) = 1.2

Mari kita lihat tabel perubahan dari probabilitas ke odds

probabilitas	odds
0.0001	0.000100
0.01	0.010101
0.1	0.111111
0.15	0.176471
0.2	0.250000
0.25	0.333333
0.3	0.428571
0.35	0.538462
0.4	0.666667
0.45	0.818182
0.5	1.000000
0.55	1.222222
0.6	1.500000
0.65	1.857143
0.7	2.333333
0.75	3.000000
0.8	4.000000
0.85	5.666667
0.9	9.000000
0.99	99.000000
0.9999	9999.000000

Terlihat pada tabel saat probabilitas bernilai 0.5, maka oddsnya adalah 1. Namun yang perlu diperhatikan disini adalah saat odds diatas 1 maka peningkatannya akan terus naik sampai ke tak hingga sementara itu saat odds dibawah 1 maka penurunannya hanya akan mendekati 0. Sehingga timbul ketidakseimbangan pada odds di baris bilangan seperti pada grafik dibawah

Log odds

Untuk itu kita seringkali menggunakan log odds dalam menggunakan odds ini. Log odds sesuai namanya merupakan log dari odds, dalam statistik yang kita maksud dengan log adalah log dengan basis е (bilangan euler = 2.718….). Berikut tabel kita jika kita menggunakan log odds

probabilitas	odds	log odds
0.001	0.001001	-6.906754779
0.01	0.010101	-4.59511985
0.1	0.111111	-2.197224577
0.15	0.176471	-1.734601055
0.2	0.250000	-1.386294361
0.25	0.333333	-1.098612289
0.3	0.428571	-0.8472978604
0.35	0.538462	-0.6190392084
0.4	0.666667	-0.4054651081
0.45	0.818182	-0.2006706955
0.5	1.000000	0
0.55	1.222222	0.2006706955
0.6	1.500000	0.4054651081
0.65	1.857143	0.6190392084
0.7	2.333333	0.8472978604
0.75	3.000000	1.098612289
0.8	4.000000	1.386294361
0.85	5.666667	1.734601055
0.9	9.000000	2.197224577
0.99	99.000000	4.59511985
0.999	999.000000	6.906754779

Terlihat pada tabel saat probabilitas bernilai 0.5 maka log odds bernilai 0 dan dari sana nilai log odds bergerak searah. Berikut grafik odds dengan log odds dan grafik probabilitas dengan log odds

Kamu mungkin bertanya-tanya kenapa kita bersusah payah merubah probabilitas ke log odds? Salah satu alasannya adalah biasanya sulit untuk memodelkan variabel yang memiliki jangkauan terbatas, seperti halnya probabilitas (yang hanya dari 0-1). Dengan transformasi ini kita memetakan probabilitas yang rentang nilainya dari 0 hingga 1 menjadi log odds yang rentang nilainya dari tak terhingga negatif hingga tak terhingga positif. Alasan lain adalah bahwa di antara semua pilihan transformasi yang tak terhingga, log of odds adalah salah satu yang paling mudah untuk dipahami dan ditafsirkan. Transformasi ini disebut transformasi log odds atau logit, ini lah nanti yang menjadi dasar regresi logistik.

Odds ratio

Selanjutnya adalah odds ratio, sesuai dengan namanya odds ratio hanyalah rasio dari odds. Kita akan menggunakan data yang tadi kita gunakan namun dengan tambahan keterangan berupa jenis kelamin.

	perempuan	laki-laki	total
ditolak	10	15	25
diterima	18	12	30
Total	28	27	55

Odds bagi perempuan untuk diterima adalah 18/10 = 1.8 sementara itu odds bagi laki laki untuk diterima adalah 12/15 = 0.8. Sehingga rasio dari odds diterima (odds ratio) untuk perempuan adalah odds perempuan diterima dibagi odds laki-laki diterima, 1.8/0.8 = 2.25. Dari odds ratio ini kita bisa menyimpulkan bahwa odds untuk perempuan diterima adalah 2.25 kali lebih besar daripada laki-laki. Atau dengan kata lain odds perempuan diterima 125% lebih tinggi daripada laki-laki